공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

회전 닮음 변환

문제

두 일차변환 f,gf , g를 나타내는 행렬을 각각 (cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\displaystyle {\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ & \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}}, (120012)\displaystyle \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}} & {0} \\ {0} & {\frac{1}{2}} \end{pmatrix} 이라 하자. 합성변환 f∘gf \circ g에 의하여 점 A(4,0)\mathrm{A} ( 4 , 0 )이 옮겨지는 점을 B\mathrm{B}라 하고, 합성변환 g∘f−1g \circ f ^{-1}에 의하여 점 B\mathrm{B}가 옮겨지는 점을 C\mathrm{C}라 하자. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이가 11일 때, sin⁡θ=pq\displaystyle \sin \theta = \frac{p}{q}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}이고, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

△ABC\mathrm{\triangle ABC}의 넓이가 1\mathrm{1}이므로 12×CA‾×(B\displaystyle \mathrm{\frac{1}{2} \times \overline{CA} \times ( B}의 y{y}좌표)=1\mathrm{= 1} →12×3×(2sin⁡θ)=1\displaystyle \mathrm{\rightarrow \frac{1}{2} \times 3 \times ( 2 \sin \theta ) = 1} 따라서 sin⁡θ=13\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{3}이고 p+q=4p + q = 4이다. [다른 풀이] △ABC\mathrm{\triangle ABC}의 넓이 = △OAB\mathrm{\triangle OAB}의 넓이 + △OBC\mathrm{\triangle OBC}의 넓이 = 12×2×4×sin⁡θ−12×2×1×sin⁡θ\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times \sin \theta - \frac{1}{2} \times 2 \times 1 \times \sin \theta = 3sin⁡θ3 \sin \theta = 11 따라서 sin⁡θ=13\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{3}이고 p+q=4p + q = 4이다.

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