회전·대칭변환 반복

$\displaystyle A = \frac{1}{\sqrt{2}} {\begin{pmatrix} 1 & & - 1 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}} , B = {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 0 & & - 1 \end{pmatrix}}$라 하면 $\displaystyle {\begin{pmatrix} x _{1} \\ y _{1} \end{pmatrix}} = \frac{1}{\sqrt{2}} {\begin{pmatrix} 1 & & - 1 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x _{0} \\ y _{0} \end{pmatrix}}$ $\displaystyle {\begin{pmatrix} x _{2} \\ y _{2} \end{pmatrix}} = \frac{1}{\sqrt{2}} {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 0 & & - 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & & - 1 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x _{0} \\ y _{0} \end{pmatrix}}$ $\vdots$ $\displaystyle {\begin{pmatrix} x _{4} \\ y _{4} \end{pmatrix}} = \frac{1}{\sqrt{2}} BABA {\begin{pmatrix} x _{0} \\ y _{0} \end{pmatrix}}$ $\vdots$ $BABA = E$ (단위행렬)이므로 $P _{2003} = P _{3}$이다. $\displaystyle {\begin{pmatrix} x _{3} \\ y _{3} \end{pmatrix}} = \frac{1}{\sqrt{2}} {\begin{pmatrix} 1 & & - 1 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 0 & & - 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & & - 1 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x _{0} \\ y _{0} \end{pmatrix}}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 0 & & - 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x _{0} \\ y _{0} \end{pmatrix}}$ 즉, $P _{2003}$은 $P _{0}$와 $x$축 대칭이다. 따라서 $P _{2003}$의 좌표는 $( x _{0} , - y _{0} )$이다. [별해] $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} \cos 45 ^\circ & & - \sin 45 ^\circ \\ \sin 45 ^\circ & & \cos 45 ^\circ \end{pmatrix}} , B = {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 0 & & - 1 \end{pmatrix}}$이라 하면 $A$는 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$만큼 회전변환이고, $B$는 $x$축에 대한 대칭변환이다. 즉 $\left( BA \right) ^{2} = E$ $P _{1} = AP _{0}$, $P _{2} = BP _{1} = BAP _{0}$, $P _{3} = AP _{2} = ABAP _{0}$, $P _{4} = BP _{3} = BABAP _{0} = P _{0}$ $\therefore P _{2003} = P _{3} = ( x _{0} , - y _{0} )$