미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

호 위 점 y 좌표 변화율

문제

좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 90∘90 ^\circ이고 반지름의 길이가 1010인 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}가 있다. 점 P\mathrm{P}가 점A\mathrm{A}에서 출발하여 호 AB\mathrm{AB}를 따라 매초 22의 일정한 속력으로 움직일 때, ∠AOP=30∘\mathrm{\angle} AOP = 30 ^\circ가 되는 순간 점P\mathrm{P}의 yy좌표의 시간(초)에 대한 변화율은? [3점]

①−12\displaystyle - \frac{1}{2}②−22\displaystyle - \frac{\sqrt{2}}{2}③−32\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}④−1- 1⑤−2- 2

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④

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해설

∠AOP=θ\mathrm{\angle} AOP = \theta라 하면 ⌢AP=10θ\mathrm{\frown} {AP} ^{=} 10 \theta A의 속력이 2이므로 ddt(10θ)=10dθdt=2\displaystyle \frac{d}{dt} ( 10 \theta ) = 10 \frac{d \theta}{dt} = 2 ∴dθdt=15\displaystyle \therefore \frac{d \theta}{dt} = \frac{1}{5} P의 좌표는 (10sin⁡θ,10cos⁡θ)( 10 \sin \theta , 10 \cos \theta )이므로 y=10cos⁡θy = 10 \cos \theta dydt=ddt(10cos⁡θ)\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} ( 10 \cos \theta ) =10⋅(−sin⁡θ)⋅dθdt\displaystyle = 10 \cdot ( - \sin \theta ) \cdot \frac{d \theta}{dt} =−2sin⁡θ=−1= - 2 \sin \theta = - 1

태그

#속도#관련 변화율#삼각함수 미분

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