미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

호 길이 고정 원의 극한

문제

자연수 nn에 대하여 중심이 원점 O\mathrm{O}이고 점 P(2n,0)\mathrm{P} \mathit{(} 2 ^{n} , 0 )을 지나는 원 CC가 있다. 원 CC 위에 점 Q\mathrm{Q}를 호 PQ\mathrm{PQ}의 길이가 π\pi가 되도록 잡는다. 점 Q\mathrm{Q}에서 xx축에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 할 때, lim⁡n→∞(OQ‾×HP‾)\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \mathrm{\left( \overline{OQ} \times \overline{HP} \right)}의 값은? [4점]

①π22\displaystyle \frac{\pi ^{2}}{2}②π23\displaystyle \frac{\pi ^{2}}{3}③π2\pi ^{2}④54π2\displaystyle \frac{5}{4} \pi ^{2}⑤32π2\displaystyle \frac{3}{2} \pi ^{2}

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①

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해설

OQ‾=2n\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}} = 2 ^{n}이고 HP‾=2n−2ncos⁡π2n\displaystyle \overline{\mathrm{HP}} = 2 ^{n} - 2 ^{n} \cos \frac{\pi}{2 ^{n}} lim⁡n→∞2n(2n−2ncos⁡π2n)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} 2 ^{n} \left( 2 ^{n} - 2 ^{n} \cos \frac{\pi}{2 ^{n}} \right)=lim⁡n→∞22n(1−cos⁡π2n)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} 2 ^{2 n} \left( 1 - \cos \frac{\pi}{2 ^{n}} \right) =lim⁡n→∞22n(1−cos⁡π2n)(1+cos⁡π2n)(1+cos⁡π2n)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{2 ^{2 n} \left( 1 - \cos \frac{\pi}{2 ^{n}} \right) \left( 1 + \cos \frac{\pi}{2 ^{n}} \right)}{\left( 1 + \cos \frac{\pi}{2 ^{n}} \right)} =lim⁡n→∞22n⋅sin⁡2π2n(1+cos⁡π2n)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{2 ^{2 n} \cdot \sin ^{2} \frac{\pi}{2 ^{n}}}{\left( 1 + \cos \frac{\pi}{2 ^{n}} \right)}=lim⁡n→∞22n⋅sin⁡2π2n⋅π2(1+cos⁡π2n)(π2n)2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{2 ^{2 n} \cdot \sin ^{2} \frac{\pi}{2 ^{n}} \cdot \pi ^{2}}{\left( 1 + \cos \frac{\pi}{2 ^{n}} \right) \left( \frac{\pi}{2 ^{n}} \right) ^{2}} =π22\displaystyle = {\frac{\pi ^{2}}{2}}

태그

#삼각함수의 극한#수열의 극한

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