호 길이 급수

[출제의도] 도형에서 무한등비급수의 합을 이해한다. 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{\sqrt{3}} x$와 $x$축이 이루는 각의 크기는 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$이다. $\mathrm{\triangle} OO _{1} A _{1}$은 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\angle} OO _{1} A _{1} = \frac{2}{3} \pi$ 따라서 $\displaystyle l _{1} = \frac{2}{3} \pi$ $\mathrm{\triangle} OO _{{\mathit{n}}} A _{{\mathit{n}}}$은 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\angle} OO _{{\mathit{n}}} A _{{\mathit{n}}} = \frac{2}{3} \pi$ 따라서 $\displaystyle l _{{\mathit{n}}} = \frac{2}{3} \pi \cdot l _{{\mathit{n} - 1}}$ $( n \geq 2 )$ 수열 $\displaystyle \left\{ \frac{1}{l _{n}} \right\}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{3}{2 \pi}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{3}{2 \pi}$인 등비수열이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{l _{n}}$$\displaystyle = \frac{\frac{3}{2 \pi}}{1 - \frac{3}{2 \pi}}$$\displaystyle = \frac{3}{2 \pi - 3}$