호 길이 비 극한

$\displaystyle \overline{\mathrm{A}} B$의 중점을 $\mathrm{O}'$이라 하면 $\angle \mathrm{A} O' \mathrm{C} = 2 \theta$이므로 $l _{1} = 1 \times 2 \theta = 2 \theta$ 직각삼각형 $\mathrm{A} BC$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}} C = 2 \sin \theta$, $\displaystyle \overline{\mathrm{B}} C = 2 \cos \theta$ $\triangle \mathrm{A} BC$의 넓이를 $\mathrm{S}$, 원 $\mathrm{O}$의 반지름을 $r$라 하면 $\displaystyle \mathrm{S} = \frac{1}{2} ( 2 + 2 \sin \theta + 2 \cos \theta ) r$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \sin \theta \times 2 \cos \theta$ $\displaystyle \therefore r = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{1 + \sin \theta + \cos \theta}$ $\angle \mathrm{D} OE = \pi - \theta$이므로 $\displaystyle l _{2} = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{1 + \sin \theta + \cos \theta} ( \pi - \theta )$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} \frac{l _{1}}{l _{2}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \theta ( 1 + \sin \theta + \cos \theta )}{2 \sin \theta \cos \theta ( \pi - \theta )} = \frac{2}{\pi}$