허수단위 거듭제곱으로 만든 집합의 원소 개수

$X \mathit{(} A , B )$$\displaystyle = \left\{ i ^{m} + \left( \frac{1}{i} \right) ^{k} \right| m \in A , k \in B \}$$= \left\{ i ^{m} + ( - i ) ^{k} \left| m \in A , k \in B \right\} \right.$ ㉠ $A = \left\{ 1 \right\}$, $B = \left\{ 1 , 2 \right\}$이므로 $m = 1$, $k = 1$일 때, $i + ( - i ) = 0$ $m = 1$, $k = 2$일 때, $i + ( - i ) ^{2} = i - 1$ $\therefore X ( A , B ) = \left\{ 0 , - 1 + i \right\}$ (참) ㉡ $n ( A ) \cdot n ( B )$는 순서쌍 $( m , k )$의 개수이고, $i + ( - i ) ^{2} = i ^{2} + ( - i ) ^{3} = - 1 + i$와 같이 $i ^{m} + ( - i ) ^{k}$은 $m , k$의 값이 다른 경우라도 같은 수가 나올 수 있으므로 $n ( X \mathit{(} A , B ) )$는 $n ( A ) \cdot n ( B )$보다 작거나 같다. 즉, $n ( X \mathit{(} A , B ) ) \leq n ( A ) n ( B )$ (참) ㉢ $A = B = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$일 때 $n ( X \mathit{(} A , B ) )$가 최대가 되므로 이때의 $X \mathit{(} A , B )$의 원소를 구해 보자. $m = 1$일 때, $i + ( - i ) = 0$ $i + ( - i ) ^{2} = - 1 + i$, $i + ( - i ) ^{3} = i + i = 2 i$ $i + ( - i ) ^{4} = 1 + i$ $m = 2$일 때, $i ^{2} = - 1$이므로 $i ^{2} + ( - i ) = - 1 - i$, $i ^{2} + ( - i ) ^{2} = - 1 - 1 = - 2$ $i ^{2} + ( - i ) ^{3} = - 1 + i$, $i ^{2} + ( - i ) ^{4} = - 1 + 1 = 0$ $m = 3$일 때, $i ^{3} = - i$이므로 $i ^{3} + ( - i ) = - i - i = - 2 i$, $i ^{3} + ( - i ) ^{2} = - i - 1$ $i ^{3} + ( - i ) ^{3} = - i + i = 0$, $i ^{3} + ( - i ) ^{4} = - i + 1$ $m = 4$일 때, $i ^{4} = 1$이므로 $i ^{4} + ( - i ) = 1 - i$, $i ^{4} + ( - i ) ^{2} = 1 - 1 = 0$ $i ^{4} + ( - i ) ^{3} = 1 + i$, $i ^{4} + ( - i ) ^{4} = 1 + 1 = 2$ $\therefore X \mathit{(} A , B )$$= \left\{ - 2 , 0 , 2 , - 1 - i , - 1 + i , \right.$ $1 - i , 1 + i , - 2 i , 2 i \}$ 따라서 $n ( X \mathit{(} A , B ) )$의 최댓값은 $9$이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡이다.