허수 세제곱근 보기

[출제의도] 삼차방정식의 해를 이용한 추론하기 ㄱ. $z ^{2}$$\displaystyle = \left( \frac{\mathit{-} 1 + \sqrt{3} i}{2} \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{\mathit{-} 1 - \sqrt{3} i}{2}$ $z ^{3}$$= z ^{2} \times z$$\displaystyle = \left( \frac{\mathit{-} 1 - \sqrt{3} i}{2} \right) \left( \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2} \right)$$= 1$ (참) ㄴ. ㄱ에 의해 $z ^{4} + z ^{5}$$= z + z ^{2}$$\displaystyle = \frac{\mathit{-} 1 + \sqrt{3} i}{2} + \frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2}$$= \mathit{-} 1$ (참) ㄷ. ㄱ에 의해 자연수 $k$에 대하여 $z$$= z ^{4}$$= z ^{7}$$= \cdots$$= x ^{3 k - 2}$$\displaystyle = \frac{\mathit{- 1 + \sqrt{3} i}}{2}$ $z ^{2}$$= z ^{5}$$= z ^{8}$$= \cdots$$= x ^{3 k - 1}$$\displaystyle = \frac{\mathit{- 1 - \sqrt{3} i}}{2}$ $z ^{3}$$= z ^{6}$$= z ^{9}$$= \cdots$$= x ^{3 k}$$= \mathit{1}$ (ⅰ) $n$$= 3 k - 2$일 때, $z ^{n}$$= z ^{3 k - 2}$$\displaystyle = \frac{\mathit{-} 1 + \sqrt{3} i}{2}$ $z ^{2 n}$$= z ^{3 \left( 2 k - 1 \right) - 1}$$\displaystyle = \frac{\mathit{-} 1 - \sqrt{3} i}{2}$ $z ^{3 n}$$= z ^{3 \left( 3 k - 2 \right)}$$= 1$ $z ^{4 n}$$= z ^{3 \left( 4 k - 2 \right) - 2}$$\displaystyle = \frac{\mathit{-} 1 + \sqrt{3} i}{2}$ $z ^{5 n}$$= z ^{3 \left( 5 k - 3 \right) - 1}$$\displaystyle = \frac{\mathit{-} 1 - \sqrt{3} i}{2}$ 이므로 $z ^{n} + z ^{2 n} + z ^{3 n} + z ^{4 n} + z ^{5 n}$$= \mathit{-} 1$ 을 만족시키는 $100$ 이하의 모든 자연수 $n$은 $1 , 4 , 7 , \cdots , 100$이고 그 개수는 $34$ (ⅱ) $n$$= 3 k - 1$일 때, $z ^{n}$$= z ^{3 k - 1}$$\displaystyle = \frac{\mathit{-} 1 - \sqrt{3} i}{2}$ $z ^{2 n}$$= z ^{3 \left( 2 k \right) - 2}$$\displaystyle = \frac{\mathit{-} 1 + \sqrt{3} i}{2}$ $z ^{3 n}$$= z ^{3 \left( 3 k - 1 \right)}$$= 1$ $z ^{4 n}$$= z ^{3 \left( 4 k - 1 \right) - 1}$$\displaystyle = \frac{\mathit{-} 1 - \sqrt{3} i}{2}$ $z ^{5 n}$$= z ^{3 \left( 5 k - 1 \right) - 2}$$\displaystyle = \frac{\mathit{-} 1 + \sqrt{3} i}{2}$ 이므로 $z ^{n} + z ^{2 n} + z ^{3 n} + z ^{4 n} + z ^{5 n}$$= \mathit{-} 1$ 을 만족시키는 $100$ 이하의 모든 자연수 $n$은 $2 , 5 , 8 , \cdots , 98$이고 그 개수는 $33$ (ⅲ) $n$$= 3 k$일 때, $z ^{n}$$= z ^{2 n}$$= z ^{3 n}$$= z ^{4 n}$$= z ^{5 n}$$= 1$ $z ^{n} + z ^{2 n} + z ^{3 n} + z ^{4 n} + z ^{5 n}$$= 5$ 이므로 $z ^{n} + z ^{2 n} + z ^{3 n} + z ^{4 n} + z ^{5 n}$$= \mathit{-} 1$ 을 만족시키는 $100$ 이하의 자연수는 없다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 모든 자연수 $n$의 개수는 $67$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ