허근의 성질과 함수값의 곱

$\omega$는 $x ^{2} + x + 1 = 0$의 한 허근이므로 $w ^{2} + w + 1 = 0$이고, 양변을 $w$로 나누면 $\displaystyle w + \frac{1}{w} = - 1$이고 $\displaystyle w \frac{1}{w} = 1$, $w ^{3} = 1$이므로 $f ( w ) = - 1 , f ( w ^{2} ) = - 1 , f ( w ^{3} ) = 2$이므로 $\displaystyle f ( w ^{n} ) = {\begin{cases} 2 & ( n \text{이} 3 \text{의} \text{배수} ) \\ - 1 & ( n \text{이} 3 \text{의} \text{배수가} \text{아닐} \text{때} ) \end{cases}}$이고 $2 ^{k}$은 $3$의 배수가 아니므로 $( k$는 음의 아닌 정수$)$ $f ( \omega ) f ( \omega ^{2} ) f ( \omega ^{2 ^{2}} ) f ( \omega ^{2 ^{3}} ) \cdots f ( \omega ^{2 ^{2016}} ) = ( - 1 ) ^{2017} = - 1$