공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

허근과 계수

문제

두 실수 $a$ , $b$ 에 대하여 이차방정식 $x ^{2} + ax + b = 0$ 의 한 근이 $2 + 3 i$ 일 때, $a ^{2} + b ^{2}$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle i = \sqrt{- 1}$ ) [3점]

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185

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해설

이차방정식 $x ^{2} + ax + b = 0$ 의 한 근이 $2 + 3 i$ 이므로 $\left( 2 + 3 i \right) ^{2} + a \left( 2 + 3 i \right) + b = \left( 2 a + b - 5 \right) + \left( 3 a + 12 \right) i = 0$ 이때 $a$ , $b$ 는 실수이므로 $2 a + b - 5 = 0$ , $3 a + 12 = 0$ $a = - 4$ , $b = 13$ 따라서 $a ^{2} + b ^{2} = \left( - 4 \right) ^{2} + 13 ^{2} = 185$

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