공통수학1여러 가지 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

허근 식과 로그

문제

x3=1x ^{3} = 1의 한 허근 ω\omega에 대하여 A=1−ω−ω‾+‾ωω‾\displaystyle \mathrm{A} = 1 - \omega - \overline{\omega} \overline{+} \omega \overline{\omega} 라 하자. 이 때, 2log⁡2A2 ^{\log _{2} \mathrm{A}}의 값은? (단, ω‾\displaystyle \overline{\omega}는 ω\omega의 켤레복소수이다.) [3점] ①11②32\displaystyle \frac{3}{2}③22④33⑤66

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④

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해설

[출제의도] 방정식의 근과 로그의 성질을 이용하여 주어진 식의 값을 구할 수 있다. x2+x+1=0x ^{2} + x + 1 = 0의 두 근이 ω\omega,ω‾\displaystyle \overline{\omega}이므로 ω+ω‾=−1\displaystyle \omega + \overline{\omega} = - 1, ω⋅ω‾=1\displaystyle \omega \cdot {\overline{\omega}} = 1 A=1−ω−ω‾+ωω‾=1−(ω+ω‾)+ωω‾=3\displaystyle \mathrm{A} = 1 - \omega - \overline{\omega} + \omega \overline{\omega} = 1 - ( \omega + \overline{\omega} ) + \omega \overline{\omega} = 3 ∴ 2log⁡2A=2log⁡23=32 ^{\log _{2} \mathrm{A}} = 2 ^{\log _{2} 3} = 3

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#허근#로그

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