허근 세제곱 실수

[출제의도] 이차방정식의 근의 성질과 복소수의 성질을 이용하여 문제해결하기 복소수 $\alpha$가 이차방정식 $x ^{2} - px + p + 3 = 0$의 한 근이면 $\displaystyle \overline{\alpha}$도 근이므로 $\alpha = a + bi$라 하면, $\displaystyle {\overline{\alpha}} = a - bi$ ($a , b$는 실수, $b \ne 0$)이고, 근과 계수의 관계에 의해 $\displaystyle \alpha + \overline{\alpha} = 2 a = p , \alpha \overline{\alpha} = a ^{2} + b ^{2} = p + 3$이므로 $\displaystyle a = \frac{p}{2} , b ^{2} = - a ^{2} + p + 3 = - \frac{p ^{2}}{4} + p + 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\alpha ^{3} = \left( a + bi \right) ^{3}$ $= a ^{3} + 3 a ^{2} bi - 3 ab ^{2} - b ^{3} i$ $= \left( a ^{3} - 3 ab ^{2} \right) + \left( 3 a ^{2} b - b ^{3} \right) i$ $\alpha ^{3}$이 실수이므로 허수부분인 $3 a ^{2} b - b ^{3} = 0$이다. $b \ne 0$이므로 $b ^{2} = 3 a ^{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 $\displaystyle - \frac{p ^{2}}{4} + p + 3 = 3 \left( \frac{p}{2} \right) ^{2}$을 정리하면 $p ^{2} - p - 3 = 0$이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의해 모든 실수 $p$의 곱은 $- 3$이다. [다른풀이1] 이차방정식 $x ^{2} - px + p + 3 = 0$이 허근을 가지므로 판별식을 $D$라 하면 $D = p ^{2} - 4 ( p + 3 ) < 0$이므로 $- 2 < p < 6$이다. 이차방정식 $x ^{2} - px + p + 3 = 0$의 한 허근이 $\alpha$이므로 $\alpha ^{2} - p \alpha + p + 3 = 0$이 성립한다. 즉, $\alpha ^{2} = p \alpha - p - 3$이다. $\alpha ^{3} = \alpha ^{2} \times \alpha$$= p \alpha ^{2} - ( p + 3 ) \alpha$ $= p ( p \alpha - p - 3 ) - ( p + 3 ) \alpha$ $= ( p ^{2} - p - 3 ) \alpha - p ( p + 3 )$이므로 $\alpha ^{3}$은 실수, $p ( p + 3 )$은 실수, $\alpha$는 허수이므로 $p ^{2} - p - 3 = 0$이다.

$\displaystyle \frac{1}{2}$ $y = p ^{2} - p - 3$

$f ( p ) = p ^{2} - p - 3$이라 하면 $\displaystyle f ( p ) = \left( p - \frac{1}{2} \right) ^{2} - \frac{13}{4}$이다. ⅰ) 축 $\displaystyle p = \frac{1}{2}$은 $- 2$와 $6$ 사이에 존재하고 ⅱ) $f ( - 2 ) > 0 , f ( 6 ) > 0$ ⅲ) $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) < 0$이므로 실근이 존재한다. ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해 $p ^{2} - p - 3 = 0$의 두 실근은 $- 2$와 $6$사이에 존재한다. 따라서 $\alpha ^{3}$이 실수가 되는 모든 실수 $p$의 값의 곱은 $- 3$이다. [다른풀이2] 이차방정식 $x ^{2} - px + p + 3 = 0$이 허근을 가지므로 판별식을 $D$라 하면 $D = p ^{2} - 4 ( p + 3 ) < 0$이므로 $- 2 < p < 6$이다. 이차방정식 $x ^{2} - px + p + 3 = 0$의 한 허근이 $\alpha$이므로 $\alpha ^{2} - p \alpha + p + 3 = 0$이고, $\alpha ^{2} - p \alpha + p ^{2} = p ^{2} - p - 3$이다. 식의 양변에 $\alpha + p$를 각각 곱하면 $\alpha ^{3} + p ^{3} = ( \alpha + p ) ( p ^{2} - p - 3 )$이므로 $\alpha ^{3} = ( p ^{2} - p - 3 ) \alpha - p ( p + 3 )$이다. $\alpha ^{3}$이 실수이므로 $p ^{2} - p - 3 = 0$이다.