공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

허근 집합 연산 보기

문제

이차방정식 x2+x+1=0x ^{2} + x + 1 = 0의 서로 다른 두 근을 α\alpha, β\beta라 할 때, 집합 S={1,α,β}S = \left\{ 1 , \alpha , \beta \right\}에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? [4점]

보 기
ㄱ. SS는 곱셈에 대하여 닫혀 있다. ㄴ. SS는 나눗셈에 대하여 닫혀 있다. ㄷ. SS에서 α\alpha의 곱셈에 대한 역원은 β\beta이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 복소수의 연산에 대한 성질 이해하기 x2+x+1=0x ^{2} + x + 1 = 0의 두 근이 α\alpha, β\beta이므로 αβ=1\alpha \beta = 1, α3=β3=1\alpha ^{3} = \beta ^{3} = 1, α2=β\alpha ^{2} = \beta, β2=α\beta ^{2} = \alpha ㄱ. SS는 곱셈에 대하여 닫혀 있다. (참)

×11α\alphaβ\beta
1111α\alphaβ\beta
α\alphaα\alphaβ\beta11
β\betaβ\beta11α\alpha

ㄴ. SS는 나눗셈에 대하여 닫혀 있다. (참)

÷11α\alphaβ\beta
1111=1\displaystyle \frac{1}{1} = 11α=β\displaystyle \frac{1}{\alpha} = \beta1β=α\displaystyle \frac{1}{\beta} = \alpha
α\alphaα1=α\displaystyle \frac{\alpha}{1} = \alphaαα=1\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha} = 1αβ=β\displaystyle \frac{\alpha}{\beta} = \beta
β\betaβ1=β\displaystyle \frac{\beta}{1} = \betaβα=α\displaystyle \frac{\beta}{\alpha} = \alphaββ=1\displaystyle \frac{\beta}{\beta} = 1

ㄷ. SS에서 α\alpha의 곱셈에 대한 역원은 β\beta이다. (참) 곱셈에 대한 항등원은 11이고 αβ=1\alpha \beta = 1이므로 α\alpha의 곱셈에 대한 역원은 β\beta이다.

태그

#허근#연산에 닫힘#역원#보기

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