공통수학1여러 가지 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

허근 ω 거듭제곱 보기

문제

방정식 x3=1x ^{3} = 1의 한 허근을 ω\omega라 할 때, <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

〈 보 기 〉
ㄱ. (1+ω)2=ω( 1 + \omega ) ^{2} = \omega ㄴ. (1+ω)10=−ω2( 1 + \omega ) ^{10} = - \omega ^{2} ㄷ. 모든 자연수 nn에 대하여 (1+ω)3n=(−1)n( 1 + \omega ) ^{3n} = ( - 1 ) ^{n}

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

[출제 의도] 방정식의 해의 관계를 추론할 수 있다. ω\omega는 x3−1=(x−1)(x2+x+1)=0x ^{3} - 1 = ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 ) = 0의 근이므로 ω3=1\omega ^{3} = 1, ω2+ω+1=0\omega ^{2} + \omega + 1 = 0 따라서 1+ω=−ω21 + \omega = - \omega ^{2} (1+ω)2=(−ω2)2=ω4=ω( 1 + \omega ) ^{2} = ( - \omega ^{2} ) ^{2} = \omega ^{4} = \omega (1+ω)3=(−ω2)3=−(ω3)2=−12=−1( 1 + \omega ) ^{3} = ( - \omega ^{2} ) ^{3} = - ( \omega ^{3} ) ^{2} = - 1 ^{2} = - 1 (1+ω)4=(1+ω)3(1+ω)( 1 + \omega ) ^{4} = ( 1 + \omega ) ^{3} ( 1 + \omega )=−(1+ω)= - ( 1 + \omega ) (1+ω)5=(1+ω)3(1+ω)2( 1 + \omega ) ^{5} = ( 1 + \omega ) ^{3} ( 1 + \omega ) ^{2}=−(1+ω)2= - ( 1 + \omega ) ^{2} (1+ω)6=(1+ω)3(1+ω)3=(−1)(−1)=1( 1 + \omega ) ^{6} = ( 1 + \omega ) ^{3} ( 1 + \omega ) ^{3} = ( - 1 ) ( - 1 ) = 1 …… ∴ (1+ω)10=(1+ω)6(1+ω)4=(1+ω)4( 1 + \omega ) ^{10} = ( 1 + \omega ) ^{6} ( 1 + \omega ) ^{4} = ( 1 + \omega ) ^{4} =−(1+ω)=ω2= - ( 1 + \omega ) = \omega ^{2} 또, (1+ω)3=(1+ω)9=⋯=−1( 1 + \omega ) ^{3} = ( 1 + \omega ) ^{9} = \cdots = - 1 (1+ω)6=(1+ω)12=⋯=1( 1 + \omega ) ^{6} = ( 1 + \omega ) ^{12} = \cdots = 1 이므로 (1+ω)3n( 1 + \omega ) ^{3n}=(−1)n= ( - 1 ) ^{n} 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

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#삼차방정식#허근 ω#보기

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