대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

헤이즈계수 로그 활용

문제

어떤 지역의 먼지농도에 따른 대기오염 정도는 여과지에 공기를 여과시켜 헤이즈계수를 계산하여 판별한다. 광화학적 밀도가 일정 하도록 여과지 상의 빛을 분산시키는 고형물의 양을 헤이즈계수 $H$ , 여과지 이동거리를 $L$ $\left( \mathrm{m} \right)$ $\left( L > 0 \right)$ , 여과지를 통과하는 빛전달률을 $S$ $\left( 0 < S < 1 \right)$ 라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. $\displaystyle H = \frac{k}{L} \log \frac{1}{S}$ (단, $k$ 는 양의 상수이다.) 두 지역 $A$ , $B$ 의 대기오염 정도를 판별할 때, 각각의 헤이즈계수를 $H _{A}$ , $H _{B}$ , 여과지 이동거리를 $L _{A}$ , $L _{B}$ , 빛전달률을 $S _{A}$ , $S _{B}$ 라 하자. $\displaystyle \sqrt{3} H _{A} = 2 H _{B}$ , $L _{A} = 2 L _{B}$ 일 때, $S _{A} = \left( S _{B} \right) ^{p}$ 을 만족시키는 실수 $p$ 의 값은? [4점] ① $\displaystyle \sqrt{3}$ ② $\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ③ $\displaystyle \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ ④ $\displaystyle 2 \sqrt{3}$ ⑤ $\displaystyle \frac{7 \sqrt{3}}{3}$

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②

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해설

[출제의도] 로그를 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle \sqrt{3} H _{A} = 2 H _{B}$ , $L _{A} = 2 L _{B}$ 이므로 $\displaystyle \frac{H _{A}}{H _{B}} = \frac{\frac{k}{L _{A}} \log \frac{1}{S _{A}}}{\frac{k}{L _{B}} \log \frac{1}{S _{B}}}$ $\displaystyle = \frac{\frac{k}{2 L _{B}} \log \frac{1}{S _{A}}}{\frac{k}{L _{B}} \log \frac{1}{S _{B}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{\log S _{A}}{\log S _{B}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ $\displaystyle \frac{\log S _{A}}{\log S _{B}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ $\displaystyle \log _{S _{B}} S _{A} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ $\displaystyle S _{A} = \left( S _{B} \right) ^{\frac{4 \sqrt{3}}{3}}$ $\therefore$ $\displaystyle p = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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