대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

합의 역수 합

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1=3a _{1} = 3, an=8n−4a _{n} = 8 n - 4 (n=n =22, 33, 44, …) 를 만족시키고, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하자. ∑n=1101Sn=qp\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{1}{S _{n}} = \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 수열의 합을 구할 수 있는지 묻는 문제이다. Sn=∑k=1n(8k−4)−1\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( 8 k - 4 ) - 1=4n2−1= 4 n ^{2} - 1 (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) ∑n=1101Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{1}{S _{n}}=∑n=11014n2−1\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{1}{4 n ^{2} - 1}=12∑n=110(12n−1−12n+1)\displaystyle = \frac{1}{2} \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1} \right) =12(11−121)=1021\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{21} \right) = \frac{10}{21} ∴\therefore p+q=31p + q = 31

태그

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