미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합의 관계식과 등비급수

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 7a1+72a2+⋅⋅⋅+7nan=3n−17 a _{1} + 7 ^{2} a _{2} + \cdot \cdot \cdot + 7 ^{n} a _{n} = 3 ^{n} - 1 을 만족시킬 때, ∑n=1∞an3n−1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n}}{3 ^{n - 1}}의 값은? [4점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②49\displaystyle \frac{4}{9}③59\displaystyle \frac{5}{9}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤79\displaystyle \frac{7}{9}

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①

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해설

7a1+72a2+⋯+7nan=3n−1⋯(1)7 a _{1} + 7 ^{2} a _{2} + \cdots + 7 ^{n} a _{n} = 3 ^{n} - 1 \cdots ( 1 )에 n←n−1n \leftarrow n - 1을 대입하면, 7a1+72a2+⋯+7n−1an−1=3n−1−1⋯(2)7 a _{1} + 7 ^{2} a _{2} + \cdots + 7 ^{n-1} a _{n-1} = 3 ^{n-1} - 1 \cdots ( 2 ) (1)-(2)하면 7nan=2×3n−17 ^{n} a _{n} = 2 \times 3 ^{n-1} ↔\leftrightarrow an=27×(37)n−1\displaystyle a _{n} = \frac{2}{7} \times \left( \frac{3}{7} \right) ^{n-1} ∴∑n=1∞an3n−1=27∑n=1∞17n−1=27×11−17=13\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n}}{3 ^{n-1}} = \frac{2}{7} \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{7 ^{n-1}} = \frac{2}{7} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{1}{3}

태그

#등비급수#합과 일반항

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