미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합의 극한과 정적분

문제

lim⁡n→∞∑k=1n(1+2kn)31n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( 1 + \frac{2 k}{n} \right) ^{3} \frac{1}{n}의 값을 구하시오. [4점]

정답 보기
10

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 급수와 정적분의 관계를 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 1+2kn=xk\displaystyle 1 + \frac{2 k}{n} = x _{k}라 하면 lim⁡n→∞∑k=1n(1+2kn)31n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( 1 + \frac{2 k}{n} \right) ^{3} \frac{1}{n}} =12lim⁡n→∞∑k=1n(1+2kn)32n\displaystyle = \frac{1}{2} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( 1 + \frac{2 k}{n} \right) ^{3} \frac{2}{n}} =12∫13x3dx\displaystyle = \frac{1}{2} \int _{1} ^{3} {} x ^{3} dx=12[x44]13\displaystyle = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{l} \frac{x ^{4}}{4} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{1} ^{3} =12×81−14=10\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{81 - 1}{4} = 10

태그

#정적분과 급수#구분구적법

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 정적분의 활용 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로