합성함수의 연속

$g ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + 3 ( a , b$는 상수)라 하면 합성함수 $( g \circ f ) ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 $f ( x )$가 불연속점 $x = 0 , x = - 2$에서 연속이면 된다. (ⅰ) $x = 0$일 때 $( g \circ f ) ( 0 ) = g ( f ( 0 ) ) = g ( 0 ) = 3$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {} g ( f ( x ) ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {} g ( x ) = g ( 1 )$ $( \because g ( x )$는 삼차함수이므로 연속함수이다.) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {} g ( f ( x ) ) = ( g \circ f ) ( 0 )$이므로 $g ( 1 ) = 3$ $1 + a + b + 3 = 3$에서 $a + b = - 1 \cdots \cdots \text{㉠}$ (ⅱ) $x = 2$일 때 $( g \circ f ) ( 2 ) = g ( f ( 2 ) ) = g ( 0 ) = 3$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 + 0} g ( f ( x ) ) = \lim\limits _{x \rightarrow - 1 + 0} g ( x ) = g ( - 1 )$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 + 0} {} g ( f ( x ) ) = ( g \circ f ) ( 2 )$이므로 $g ( - 1 ) = 3$ $- 1 + a - b + 3 = 3$에서 $a - b = 1 \cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡을 연립하면 $a = 0$, $b = - 1$ $\therefore g ( x ) = x ^{3} - x + 3$ 따라서 $g ( 3 ) = 27 - 3 + 3 = 27$ [다른 풀이] 함수 $f ( x )$는 $x \ne 0 , x \ne 2$인 모든 실수 $x$에서 연속이고, 함수 $g ( x )$는 모든 실수에서 연속이다. 따라서 $y = ( g \circ f ) ( x )$는 $x \ne 0 , x \ne 2$인 모든 실수에서 연속이다. 결국 $y = ( g \circ f ) ( x )$가 $x \ne 0 , x \ne 2$에서 연속인 조건을 구하면 된다. $g ( x )$가 다항함수이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {g ( f ( x ) )} = \lim\limits _{t \rightarrow 1} {g ( t )} = g ( 1 )$, $g ( f ( 0 ) ) = g ( 0 ) = 3$에서 $g ( 1 ) = 3 \cdots \cdots \text{㉠}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 + 0} {g ( f ( x ) )} = \lim\limits _{t \rightarrow + 0} {g ( t )} = g ( 0 ) = 3$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 - 0} {g ( f ( x ) )} = \lim\limits _{t \rightarrow - 1 + 0} {g ( t )} = g ( - 1 )$ $g ( f ( 2 ) ) = g ( 0 ) = 3$ $\therefore g ( - 1 ) = g ( 0 ) = 3 \cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에서 $g ( 0 ) = g ( 1 ) = g ( - 1 ) = 3$이고, 이는 $g ( x ) - 3$이 서로 다른 세 실근 $x = - 1 , 0 , 1$을 가진다는 의미이다. $\therefore g ( x ) = x ( x - 1 ) ( x + 1 ) + 3$ 따라서 $g ( 3 ) = 3 \cdot 4 \cdot 2 + 3 = 27$