미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합성함수의 극한

문제

모든 실수 xx에 대하여 두 함수 f(x),g(x)f ( x ) , g ( x )가 f(x)={2x+1(x≠0)2(x=0)\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} 2 x + 1 ( x \ne 0 ) \\ 2 ( x = 0 ) \end{cases}, g(x)=cos⁡πxg ( x ) = \cos \pi x 로 정의될 때, lim⁡x→0(f∘g)(x)+lim⁡x→0(g∘f)(x)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} ( f \circ g ) ( x ) + \lim\limits _{x \rightarrow 0} ( g \circ f ) ( x )의 값은? [3점] ①−1- 1②11③22④33⑤44

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③

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해설

f(g(x))={2cos⁡πx+1(x≠0)2(x=0)\displaystyle f ( g ( x ) ) = \begin{cases} 2 \cos \pi x + 1 & ( x \neq 0 ) \\ 2 & ( x = 0 ) \end{cases} g(f(x))={cos⁡(2x+1)π=−cos⁡2πx(x≠0)cos⁡2π=1(x=0)\displaystyle g ( f ( x ) ) = \begin{cases} \cos ( 2 x + 1 ) \pi = - \cos 2 \pi x & ( x \neq 0 ) \\ \cos 2 \pi = 1 & ( x = 0 ) \end{cases} ∴lim⁡x→0(f∘g)(x)+lim⁡x→0(f∘g)(x)=lim⁡x→0{(f∘g)(x)(g∘f)(x)}\displaystyle \therefore {\lim\limits _{x\rightarrow 0{( f \circ g ) ( x )}}} + {\lim\limits _{x\rightarrow 0{( f \circ g ) ( x )}}} = {\lim\limits _{x\rightarrow 0{\left\{ ( f \circ g ) ( x ) \right. ( g \circ f ) ( x )}} \}} lim⁡x→0(2cos⁡πx+1−cos⁡2πx)=2+1−1=2\displaystyle {\lim\limits _{x\rightarrow 0{( 2 \cos \pi x + 1 - \cos 2 \pi x )}=2+1-1=2}}

태그

#합성함수#좌우극한

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