공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수의 반복

문제

함수 f(x)=xx+1\displaystyle f ( x ) = \frac{x}{x + 1}에 대하여 f2(x)=f(f(x))f ^{2} ( x ) = f ( f ( x ) ), f3(x)=f(f2(x))f ^{3} ( x ) = f ( f ^{2} ( x ) ), … , f10(x)=f(f9(x))f ^{10} ( x ) = f ( f ^{9} ( x ) ) 로 정의할 때, f10(1)f ^{10} ( 1 )의 값은? [4점] ①110\displaystyle \frac{1}{10}②910\displaystyle \frac{9}{10}③109\displaystyle \frac{10}{9}④111\displaystyle \frac{1}{11}⑤1011\displaystyle \frac{10}{11}

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④

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해설

[출제의도] 합성함수가 갖는 규칙성을 찾을 수 있다. f(x)=xx+1\displaystyle f ( x ) = \frac{x}{x + 1} f2(x)=f(f(x))=xx+1xx+1+1=x2x+1\displaystyle f ^{2} ( x ) = f ( f ( x ) ) = \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + 1} = \frac{x}{2 x + 1} f3(x)=f(f2(x))=x2x+1x2x+1+1=x3x+1\displaystyle f ^{3} ( x ) = f ( f ^{2} ( x ) ) = \frac{\frac{x}{2 x + 1}}{\frac{x}{2 x + 1} + 1} = \frac{x}{3 x + 1} ⋯\cdots⋯\cdots f10(x)=x10x+1\displaystyle f ^{10} ( x ) = \frac{x}{10 x + 1}으로 추정할 수 있다. 따라서, f10(1)=111\displaystyle f ^{10} ( 1 ) = \frac{1}{11} <다른풀이> f(1)=12\displaystyle f ( 1 ) = \frac{1}{2} f2(1)=f(f(1))=f(12)=13\displaystyle f ^{2} ( 1 ) = f ( f ( 1 ) ) = f \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{3} f3(1)=f(f2(1))=f(13)=14\displaystyle f ^{3} ( 1 ) = f ( f ^{2} ( 1 ) ) = f \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{4} ⋯\cdots⋯\cdots f10(1)=111\displaystyle f ^{10} ( 1 ) = \frac{1}{11}

태그

#합성함수#규칙

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