공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수가 같아지는 양수 x의 값

문제

두 함수 $f ( x ) = 2 x + 1 , g ( x ) = 3 x ^{2} + 4$ 에 대하여 $f \circ g ( x ) = g \circ f ( x )$ 를 만족하는 양수 $x$ 의 값은? ① $\displaystyle - 1 + \frac{2}{3} \sqrt{3}$ ② $\displaystyle - 1 + \sqrt{3}$ ③ $\displaystyle - 1 + 2 \sqrt{3}$ ④ $\displaystyle 1 + \sqrt{3}$ ⑤ $\displaystyle 1 + 2 \sqrt{3}$

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①

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해설

$f \circ g ( x ) = 6 x ^{2} + 9$ , $g \circ f ( x ) = 12 x ^{2} + 12 x + 7$ $f \circ g ( x ) = g \circ f ( x )$ 이므로 $6 x ^{2} + 9 = 12 x ^{2} + 12 x + 7$ $\therefore 3 x ^{2} + 6 x - 1 = 0$ 근의 공식으로부터 양근 $x$ 는 $\displaystyle \therefore x = - 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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