공통수학2함수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

합성함수 x축 교점 보기

문제

실수 kk에 대하여 함수 f(x)f ( x )가 f(x)=x∣x−k∣f ( x ) = x \left| x - k \right| 이다. 함수 g(x)=x2−3x−4g ( x ) = x ^{2} - 3 x - 4에 대하여 합성함수 y=(g∘f)(x)y = \left( g \circ f \right) ( x )의 그래프가 xx축과 만나는 점의 개수를 h(k)h ( k )라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. h(2)=2h ( 2 ) = 2 ㄴ. h(k)=4h ( k ) = 4를 만족시키는 자연수 kk의 최솟값은 66이다. ㄷ. h(k)=3h ( k ) = 3을 만족시키는 모든 실수 kk의 값의 합은 22이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

(g∘f)(x)=(f(x))2−3(f(x))−4=(f(x)+1)(f(x)−4)( g \circ f ) ( x ) = ( f ( x ) ) ^{2} - 3 ( f ( x ) ) - 4 = ( f ( x ) + 1 ) ( f ( x ) - 4 )=0= 0 이므로 y=(g∘f)(x)y = ( g \circ f ) ( x )의 그래프가 xx축과 만나는 점은 즉, 방정식 (g∘f)(x)=0( g \circ f ) ( x ) = 0의 실근은 f(x)=−1f ( x ) = - 1 또는 f(x)=4f ( x ) = 4이다. ㄱ. k=2k = 2일 때 f(x)=x∣x−2∣f ( x ) = x | x - 2 |의 그래프는 그림과 같다.

따라서 h(2)=2h ( 2 ) = 2이다. ㄴ. k=5k = 5일 때 f(x)=x∣x−5∣f ( x ) = x | x - 5 |의 그래프는 그림과 같다.

따라서 h(k)=4h ( k ) = 4를 만족시키는 자연수 kk의 최솟값은 5이다. ㄷ. k=−2k = - 2, k=4k = 4 일 때, f(x)=x∣x−k∣f ( x ) = x | x - k |의 그래프는 그림과 같다.

따라서 h(k)=3h ( k ) = 3을 만족시키는 kk의 값의 합은 (−2)+4=2( - 2 ) + 4 = 2 이다.

태그

#합성함수#절댓값 그래프#보기

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