미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합성함수 미분과 미분계수

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)f \left( x \right)가 모든 실수 xx에 대하여 f(x3+x)=exf \left( x ^{3} + x \right) = e ^{x} 을 만족시킬 때, f′(2)f' \left( 2 \right)의 값은? [3점] ①ee②e2\displaystyle \frac{e}{2}③e3\displaystyle \frac{e}{3}④e4\displaystyle \frac{e}{4}⑤e5\displaystyle \frac{e}{5}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 합성함수의 미분법의 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가? f(x3+x)=exf ( x ^{3} + x ) = e ^{x}의 양변을 xx에 대하여 미분하면 f′(x3+x)×(3x2+1)=exf' ( x ^{3} + x ) \times ( 3 x ^{2} + 1 ) = e ^{x} ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ 이다. x3+x=2x ^{3} + x = 2에서 x3+x−2x ^{3} + x - 2=(x−1)(x2+x+2)=0= ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 2 ) = 0이므로, x=1x = 1이다. 따라서, ㉠의 양변에 x=1x = 1을 대입하면 f′(1+1)×(3+1)=ef' ( 1 + 1 ) \times ( 3 + 1 ) = e이므로, f′(2)=e4\displaystyle f' ( 2 ) = \frac{e}{4}

태그

#합성함수의 미분법#미분계수 |

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 여러 가지 미분법 문제 모음수능 문제 모음기본 문제 모음
← 전체 문제 목록으로