미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합성함수 미분

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 f(x)f \left( x \right), g(x)g \left( x \right)에 대하여 함수 h(x)h \left( x \right)를 h(x)=(g∘f)(x)h \left( x \right) = \left( g \circ f \right) \left( x \right) 라 할 때, 두 함수 f(x)f \left( x \right), h(x)h \left( x \right)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) f(1)=2f \left( 1 \right) = 2, f′(1)=3f' \left( 1 \right) = 3 (나) lim⁡x→1h(x)−5x−1=12\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{h \left( x \right) - 5}{x - 1} = 12}

g(2)+g′(2)g \left( 2 \right) + g' \left( 2 \right)의 값은? [3점] ①55②77③99④1111⑤1313

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③

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해설

[출제의도] 합성함수의 미분법 이해하기 조건 (나)에서 h(1)=5h \left( 1 \right) = 5, h′(1)=12h' \left( 1 \right) = 12 h(1)=g(f(1))=g(2)=5h \left( 1 \right) = g \left( f \left( 1 \right) \right) = g \left( 2 \right) = 5 h(x)=g(f(x))h \left( x \right) = g \left( f \left( x \right) \right)에서 h′(x)=g′(f(x))f′(x)h' \left( x \right) = g' \left( f \left( x \right) \right) f' \left( x \right) h′(1)=g′(f(1))f′(1)=3g′(2)=12h' \left( 1 \right) = g' \left( f \left( 1 \right) \right) f' \left( 1 \right) = 3 g' \left( 2 \right) = 12 g′(2)=4g' \left( 2 \right) = 4 따라서 g(2)+g′(2)=5+4=9g \left( 2 \right) + g' \left( 2 \right) = 5 + 4 = 9

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#합성함수의 미분법#미분계수

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