미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합성함수 미분

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)f \left( x \right)가 모든 실수 xx에 대하여 f(x3+2x+2)=3−sin⁡πxf \left( x ^{3} + 2 x + 2 \right) = 3 - \sin \pi x 를 만족시킬 때, f′(5)f' \left( 5 \right)의 값은? [3점] ①π10\displaystyle \frac{\pi}{10}②π5\displaystyle \frac{\pi}{5}③3π10\displaystyle \frac{3 \pi}{10}④2π5\displaystyle \frac{2 \pi}{5}⑤π2\displaystyle \frac{\pi}{2}

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②

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해설

주어진 식의 양변을 xx에 대하여 미분하면 f′(x3+2x+2)×(3x2+2)=−πcos⁡πxf' \left( x ^{3} + 2 x + 2 \right) \times \left( 3 x ^{2} + 2 \right) = - \pi \cos \pi x ⋯\cdots⋯\cdots ㉠ 방정식 x3+2x+2=5x ^{3} + 2 x + 2 = 5에서 (x−1)(x2+x+3)=0\left( x - 1 \right) \left( x ^{2} + x + 3 \right) = 0이므로 x=1x = 1 ㉠에 x=1x = 1을 대입하면 f′(5)×(3×12+2)=−πcos⁡π=πf' \left( 5 \right) \times \left( 3 \times 1 ^{2} + 2 \right) = - \pi \cos \pi = \pi 따라서 f′(5)=π5\displaystyle f' \left( 5 \right) = \frac{\pi}{5}

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#합성함수 미분법

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