미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합성함수 미분

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f ( x )$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f ( 2 x + 1 ) = ( x ^{2} + 1 ) ^{2}$ 을 만족시킬 때, $f' ( 3 )$ 의 값은? [3점] ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$

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④

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해설

$f ( 2 x + 1 ) = ( x ^{2} + 1 ) ^{2}$ 의 양변을 미분하면 $f' ( 2 x + 1 ) \cdot 2$ $= 2 ( x ^{2} + 1 ) \times 2 x$ 이다. 양 변에 $x = 1$ 을 대입하여 계산하면, $f' ( 3 ) \times 2$ $= 2 \times 2 \times 2 = 8$ 따라서 $f' ( 3 ) = 4$ 이다.

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