미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수 미분

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)f ( x )가 모든 실수 xx에 대하여 f(x)+f(12sin⁡x)=sin⁡x\displaystyle f \left( x \right) + f \left( \frac{1}{2} \sin x \right) = \sin x 를 만족시킬 때, f′(π)f' ( \pi )의 값은? [3점] ①−56\displaystyle - \frac{5}{6}②−23\displaystyle - \frac{2}{3}③−12\displaystyle - \frac{1}{2}④−13\displaystyle - \frac{1}{3}⑤−16\displaystyle - \frac{1}{6}

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②

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해설

양변을 xx에 대하여 미분하면 f′(x)+12cos⁡x×f′(12sin⁡x)=cos⁡x\displaystyle f' \left( x \right) + \frac{1}{2} \cos x \times f' \left( \frac{1}{2} \sin x \right) = \cos x x=0x = 0을 대입하면 f′(0)+12×f′(0)=1\displaystyle f' \left( 0 \right) + \frac{1}{2} \times f' \left( 0 \right) = 1, f′(0)=23\displaystyle f' \left( 0 \right) = \frac{2}{3} x=πx = \pi를 대입하면 f′(π)−12f′(0)=−1\displaystyle f' \left( \pi \right) - \frac{1}{2} f' \left( 0 \right) = - 1 f′(0)=23\displaystyle f' \left( 0 \right) = \frac{2}{3}이므로 f′(π)=−23\displaystyle f' \left( \pi \right) = - \frac{2}{3}

태그

#합성함수의 미분법

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