미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합성함수 이계도함수

문제

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 f(x)f ( x )가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) f(1)=2f ( 1 ) = 2, f′(1)=3f' ( 1 ) = 3 (나) lim⁡x→1f′(f(x))−1x−1=3\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{f' ( f ( x ) ) - 1}{x - 1} = 3

f′′(2)f'' ( 2 )의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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①

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해설

f′(f(1))=1f' ( f ( 1 ) ) = 1이므로 lim⁡x→1f′(f(x))−1x−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{f' ( f ( x ) ) - 1}{x - 1} =lim⁡x→1{f′(f(x))−f′(f(1))f(x)−f(1)⋅f(x)−f(1)x−1}\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \left\{ \frac{f' ( f ( x ) ) - f' ( f ( 1 ) )}{f ( x ) - f ( 1 )} \cdot \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} \right\} =f′′(f(1))f′(1)=f′′(2)⋅3=3= f'' ( f ( 1 ) ) f' ( 1 ) = f'' ( 2 ) \cdot 3 = 3 ∴ f′′(2)=f'' ( 2 ) =1

태그

#합성함수미분#이계도함수

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