공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수 그래프의 개형

문제

두 함수 y=f(x)y = f ( x )와 y=g(x)y = g ( x )의 그래프가 각각 아래 그림과 같다.

y=f(x)y = f ( x )의 그래프 y=g(x)y = g ( x )의 그래프

다음 중 y=(g∘f)(x)y = ( g \circ f ) ( x )의 그래프의 개형은?

①②③④⑤

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①

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해설

f(x)={2x(0≤x≤32),→0≤f(x)≤3−2x+6(32≤x≤3),→0≤f(x)≤3\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} 2 x & ( 0 \leq x \leq \frac{3}{2} ) , \rightarrow 0 \leq f ( x ) \leq 3 \\ - 2 x + 6 & ( \frac{3}{2} \leq x \leq 3 ) , \rightarrow 0 \leq f ( x ) \leq 3 \end{cases} g(x)={2x(0≤x≤1),→0≤f(x)≤212x+32(1≤x≤3),→2≤f(x)≤3\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} 2 x & ( 0 \leq x \leq 1 ) , \rightarrow 0 \leq f ( x ) \leq 2 \\ \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} & ( 1 \leq x \leq 3 ) , \rightarrow 2 \leq f ( x ) \leq 3 \end{cases} ⅰ) 1≤x≤12,→0≤f(x)≤1\displaystyle 1 \leq x \leq \frac{1}{2} , \rightarrow 0 \leq f ( x ) \leq 1이므로 (g∘f)(x)=2(2x)=4x( g \circ f ) ( x ) = 2 ( 2 x ) = 4 x ⅱ) 12≤x≤32,→1≤f(x)≤3\displaystyle \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2} , \rightarrow 1 \leq f ( x ) \leq 3이므로 (g∘f)(x)=12(2x)+32=x+32\displaystyle ( g \circ f ) ( x ) = \frac{1}{2} ( 2 x ) + \frac{3}{2} = x + \frac{3}{2} ⅲ) 32≤x≤52,→1≤f(x)≤3\displaystyle \frac{3}{2} \leq x \leq \frac{5}{2} , \rightarrow 1 \leq f ( x ) \leq 3이므로 (g∘f)(x)=12(−2x+6)+32=−x+92\displaystyle ( g \circ f ) ( x ) = \frac{1}{2} ( - 2 x + 6 ) + \frac{3}{2} = - x + \frac{9}{2} ⅳ) 52≤x≤3,→0≤f(x)≤1\displaystyle \frac{5}{2} \leq x \leq 3 , \rightarrow 0 \leq f ( x ) \leq 1이므로 (g∘f)(x)=2(−2x+6)=−4x+12( g \circ f ) ( x ) = 2 ( - 2 x + 6 ) = - 4 x + 1 2 따라서, 그래프를 그리면 ① 이다.

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#합성함수

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