공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수 최댓값

문제

집합 $X = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \right\}$ 에 대하여 함수 $f : X \rightarrow X$ 가 그림과 같다.

함수 $g : X \rightarrow X$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $g ( 1 ) = 3$ , $g ( 2 ) = 5$ (나) $g$ 의 역함수가 존재한다.

$( g \circ f ) ( 4 ) + ( f \circ g ) ( 4 )$ 의 최댓값은? [4점] ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$

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③

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해설

[출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 함숫값을 구한다. $f ( 4 ) = 5$ 이므로 $( g \circ f ) ( 4 ) + ( f \circ g ) ( 4 )$ $= g ( 5 ) + f ( g ( 4 ) )$ $g$ 의 역함수가 존재하므로 $g ( 4 )$ 의 값은 $1 , 2 , 4$ 중 하나이다.

$g ( 4 )$	$1$		$2$		$4$
$f ( g ( 4 ) )$	$2$		$1$		$5$
$g ( 5 )$	$2$	$4$	$1$	$4$	$1$	$2$

위의 표에서 $g ( 4 ) = 4$ 이고 $g ( 5 ) = 2$ 일 때, $g ( 5 ) + f ( g ( 4 ) )$ 의 최댓값은 $7$ 이다.

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