대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수 최대값

문제

두 함수 f(x)=1x+2\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{x + 2}, g(x)=3sin⁡x−cos⁡x\displaystyle g ( x ) = \sqrt{3} \sin x - \cos x에 대하여 폐구간 [0,π][ 0 , \pi ]에서 함수 y=(f∘g)(x)y = ( f \circ g ) ( x )의 최대값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②11③32\displaystyle \frac{3}{2}④22⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

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②

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해설

g(x)=3sin⁡x−cos⁡x\displaystyle g ( x ) = \sqrt{3} \sin x - \cos x=2sin⁡(x−π6)\displaystyle = 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) 0≤x≤π0 \leq x \leq \pi일 때 −π6≤x−π6≤56π\displaystyle - \frac{\pi}{6} \leq x - \frac{\pi}{6} \leq \frac{5}{6} \pi이므로 −12≤sin⁡(x−π6)≤1\displaystyle - \frac{1}{2} \leq \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \leq 1 ∴−1≤g(x)≤2\therefore - 1 \leq g ( x ) \leq 2 (f∘g)(x)=1g(x)+2\displaystyle ( f \circ g ) ( x ) = \frac{1}{g ( x ) + 2}에서 14≤(f∘g)(x)≤1\displaystyle \frac{1}{4} \leq ( f \circ g ) ( x ) \leq 1 따라서, 최대값은 11이다.

태그

#삼각함수 합성#최대최소

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