공통수학1이차부등식과 연립이차부등식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수 분수부등식

문제

[13 ~ 14] 삼차함수 $y = f ( x )$ 와 꼭짓점의 좌표가 $( 1 , - 1 )$ 인 이차함수 $y = g ( x )$ 의 그래프가 그림과 같다. 함수 $y = f ( x )$ 의 그래프와 직선 $y = x$ 는 세 점에서 만나고 그 교점의 $x$ 좌표는 $- 2$ , $0$ , $3$ 이고, 함수 $y = g ( x )$ 의 그래프와 직선 $y = x$ 는 두 점에서 만나고 그 교점의 $x$ 좌표는 $0$ , $3$ 이다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

부등식 $\displaystyle \frac{\left( f \circ g \right) \left( x \right)}{g \left( x \right)} \leq 1$ 을 만족시키는 모든 정수 $x$ 의 개수는? [4점] ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$

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③

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해설

[출제의도] 분수부등식 이해하기 $\displaystyle \frac{\left( f \circ g \right) \left( x \right)}{g \left( x \right)} \leq 1$ $\displaystyle \frac{\left( f \circ g \right) \left( x \right) - g \left( x \right)}{g \left( x \right)} \leq 0$ $g \left( x \right) \left\{ f \left( g \left( x \right) \right) - g \left( x \right) \right\} \leq 0$ , $g ( x ) \ne 0$ ⅰ) $\left. g \left( x \right) \right. > 0$ 일 때 $f \left( g \left( x \right) \right) \leq g \left( x \right)$ $g \left( x \right) = t$ $\left( t > 0 \right)$ 라 하면 $f \left( t \right) \leq t$ $0 < t \leq 3$ $\left( \because t > 0 \right)$ $0 < g \left( x \right) \leq 3$ 이므로 $- 1 \leq x < 0$ 또는 $2 < x \leq 3$ $\therefore$ 정수 $x$ 는 $- 1$ , $3$ ⅱ) $\left. g \left( x \right) \right. < 0$ 일 때 $f \left( g \left( x \right) \right) \geq g \left( x \right)$ $g \left( x \right) = t$ $\left( t < 0 \right)$ 라 하면 $f \left( t \right) \geq t$ $- 2 \leq t < 0$ $\left( \because t < 0 \right)$ $- 2 \leq g \left( x \right) < 0$ 이므로 $0 < x < 2$ $\therefore$ 정수 $x$ 는 $1$ 따라서 모든 정수 $x$ 의 개수는 $3$

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