공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성변환 거듭제곱

문제

좌표평면 위의 점 (x,y)\left( x , y \right)를 xx축에 대하여 대칭이동시키는 일차변환을 ff, 원점을 중심으로 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}만큼 회전이동시키는 일차변환을 gg라 하자. 합성변환 hh를 h=f∘g∘fh = f \circ g \circ f라 할 때, 합성변환 h2011h ^{2011}에 의하여 점 (2,2)\left( 2 , 2 \right)가 옮겨지는 점은 (a,b)\left( a , b \right)이다. 이때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. (단, h1=hh ^{1} = h, hn+1=hn∘hh ^{n + 1} = h ^{n} \circ h이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 일차변환의 합성 이해하기 일차변환 f,gf , g를 나타내는 행렬을 각각 A,BA , B라 하면 A=(100−1)\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}} B=(cos⁡π3−sin⁡π3sin⁡π3cos⁡π3)=(12−323212)\displaystyle B = {\begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{3} & - \sin \frac{\pi}{3} \\ \sin \frac{\pi}{3} & \cos \frac{\pi}{3} \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}} 합성변환 hh를 나타내는 행렬을 CC라 하면 C=ABA=(1232−3212)\displaystyle C = ABA = {\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ - \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}}, C6=EC ^{6} = E이므로 (ab)=C2011(22)=C(22)=(1+31−3)\displaystyle {\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}} = C ^{2011} {\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}} = C {\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 + \sqrt{3} \\ 1 - \sqrt{3} \end{pmatrix}} 따라서 a2+b2=8a ^{2} + b ^{2} = 8

태그

#일차변환#회전변환

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