합성 삼각함수 조건

$f \left( x \right) = \sin \left( a + b \cos x \right)$에서 $f' \left( x \right) = \cos \left( a + b \cos x \right) \times \left( - b \sin x \right)$ $f' \left( x \right) = b$에서 $- b \sin x \cos \left( a + b \cos x \right) = b$ $\sin x \cos \left( a + b \cos x \right) = - 1$ $- 1 \leq \sin x \leq 1$, $- 1 \leq \cos \left( a + b \cos x \right) \leq 1$이므로 $\sin x = 1$, $\cos \left( a + b \cos x \right) = - 1$이거나 $\sin x = - 1$, $\cos \left( a + b \cos x \right) = 1$이다. 이때 $\sin x = 1$ 또는 $\sin x = - 1$이면 $\cos x = 0$이므로 $\cos a = - 1$ 또는 $\cos a = 1$ $a = \left( 2 n - 1 \right) \pi$ 또는 $a = 2 n \pi$ ($n$은 $3$ 이하의 자연수) 조건 (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left( f \left( a \right) \left( \pi + \frac{x}{4} \right) \right)}{x} = \frac{b}{a}$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} x = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \sin \left( f \left( a \right) \left( \pi + \frac{x}{4} \right) \right) = \sin \left( f \left( a \right) \pi \right) = 0$ $- 1 \leq f \left( a \right) \leq 1$이므로 $f \left( a \right) = - 1$ 또는 $f \left( a \right) = 0$ 또는 $f \left( a \right) = 1$ (ⅰ) $f \left( a \right) = 1$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{1}{x} \sin \left( f \left( a \right) \left( \pi + \frac{x}{4} \right) \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \pi + \frac{x}{4} \right)}{x}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{- \sin \frac{x}{4}}{x} = - \frac{1}{4} < 0$ 이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $f \left( a \right) = 0$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{1}{x} \sin \left( f \left( a \right) \left( \pi + \frac{x}{4} \right) \right) = 0$ 이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) $f \left( a \right) = - 1$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{1}{x} \sin \left( f \left( a \right) \left( \pi + \frac{x}{4} \right) \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left( - \pi - \frac{x}{4} \right)}{x}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{x}{4}}{x} = \frac{1}{4}$ 이므로 조건 (나)에서 $\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{1}{4}$, $a = 4 b$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $f \left( a \right) = - 1$이고, $\displaystyle b = \frac{a}{4}$ $a = \left( 2 n - 1 \right) \pi \left( n \right.$은 $3$ 이하의 자연수$\left. \right)$이면 $\displaystyle f \left( a \right) = \sin \left( a + b \cos a \right) = \sin \left( a - \frac{a}{4} \right) = \sin \frac{6 n - 3}{4} \pi$ 이므로 $3$ 이하의 자연수 $n$에 대하여 $f \left( a \right) \neq - 1$ $a = 2 n \pi$ ($n$은 $3$ 이하의 자연수)이면 $\displaystyle f \left( a \right) = \sin \left( a + b \cos a \right) = \sin \left( a + \frac{a}{4} \right) = \sin \frac{5 n}{2} \pi$ 이므로 $n = 3$일 때, $f \left( a \right) = - 1$을 만족시킨다. 그러므로 $a = 6 \pi$, $\displaystyle b = \frac{3}{2} \pi$ 따라서 $\displaystyle a + b = \frac{15}{2} \pi$