합성 조건 함수의 개수

[출제의도] 중복조합의 수를 이용하여 조건을 만족시키는 함수 $f$의 개수를 구할 수 있는가? $f ( 1 )$$= 1$이면 조건 (가)에서 $f ( 1 )$$= 4$이므로 모순이다. (ⅰ) $f ( 1 )$$= 2$ 조건 (가)에서 $f ( 2 )$$= 4$ $f ( 3 )$, $f ( 5 )$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$, $3$, $4$, $5$ 중에서 중복을 허락하여 $2$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ${} _{4} \mathrm{H} _{2}$$= _{5} \mathrm{C} _{2}$$= 10$ $f ( 4 )$의 값을 정하는 경우의 수는 $5$ 이 경우 함수 $f$의 개수는 $10 \times 5$$= 50$ (ⅱ) $f ( 1 )$$= 3$ 조건 (가)에서 $f ( 3 )$$= 4$ $f ( 5 )$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$ $f ( 2 )$, $f ( 4 )$의 값을 정하는 경우의 수는 $5 \times 5$$= 25$ 이 경우 함수 $f$의 개수는 $2 \times 25$$= 50$ (ⅲ) $f ( 1 )$$= 4$ 조건 (가)에서 $f ( 4 )$$= 4$ $f ( 3 )$, $f ( 5 )$의 값을 정하는 경우의 수는 $4$, $5$ 중에서 중복을 허락하여 $2$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ${} _{2} \mathrm{H} _{2}$$= _{3} \mathrm{C} _{2}$$= 3$ $f ( 2 )$의 값을 정하는 경우의 수는 $5$ 이 경우 함수 $f$의 개수는 $3 \times 5$$= 15$ (ⅳ) $f ( 1 )$$= 5$인 경우 조건 (가)에서 $f ( 5 )$$= 4$ 이 경우 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅰ) ∼ (ⅳ)에서 구하는 함수 $f$의 개수는 $50 + 50 + 15$$= 115$