미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성 점화식 극한

문제

※ 함수 f(x)={x+2(x≤0)−12x(x>0)\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} x + 2 & ( x \leq 0 ) \\ - \frac{1}{2} x & ( x > 0 ) \end{cases} 그래프가 그림과 같다. 다음의 두 물음에 답하시오

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=1a _{1} = 1이고 an+1=f(f(an))(n≥1)a _{n+1} = f ( f ( a _{n} ) ) ( n \geq 1 ) 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n}의 값은? [4점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②23\displaystyle \frac{2}{3}③11④43\displaystyle \frac{4}{3}⑤53\displaystyle \frac{5}{3}

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④

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해설

먼저, 모든 ana _{n}은 양수임을 알 수 있다. 따라서 an+1=f(f(an))=f(−12an)=−12an+2\displaystyle a _{n + 1} = f ( f ( a _{n} ) ) = f \left( - \frac{1}{2} a _{n} \right) = - \frac{1}{2} a _{n} + 2 lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = \alpha라고 하면, lim⁡n→∞an+1=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n+1} = \alpha이므로 α=−12α+2\displaystyle \alpha = - \frac{1}{2} \alpha + 2이다. 곧, α=43\displaystyle \alpha = \frac{4}{3}이다.

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#점화식#수열의 극한

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