합성 일차변환 넓이

$\displaystyle \begin{pmatrix} {\frac{1}{3}} & {- \frac{1}{3}} \\ {\frac{1}{3}} & {\frac{1}{3}} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{3} \begin{pmatrix} {\frac{1}{\sqrt{2}}} & {- \frac{1}{\sqrt{2}}} \\ {\frac{1}{\sqrt{2}}} & {\frac{1}{\sqrt{2}}} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{3} \begin{pmatrix} {\cos 45 ^\circ} & {- \sin 45 ^\circ} \\ {\sin 45 ^\circ} & {\cos 45 ^\circ} \end{pmatrix}$ 따라서 변환 $f \circ f$를 나타내는 행렬은 $\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sqrt{2}}{3} \begin{pmatrix} {\cos 45 ^\circ} & {- \sin 45 ^\circ} \\ {\sin 45 ^\circ} & {\cos 45 ^\circ} \end{pmatrix} \end{array} \right\} ^{2}$ $\displaystyle = \frac{2}{9} {\begin{pmatrix} {\cos 45 ^\circ} & {- \sin 45 ^\circ} \\ {\sin 45 ^\circ} & {\cos 45 ^\circ} \end{pmatrix}} ^{2}$ $\displaystyle = \frac{2}{9} \begin{pmatrix} {\cos 90 ^\circ} & {- \sin 90 ^\circ} \\ {\sin 90 ^\circ} & {\cos 90 ^\circ} \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \frac{2}{9} \begin{pmatrix} {\cos 90 ^\circ} & {- \sin 90 ^\circ} \\ {\sin 90 ^\circ} & {\cos 90 ^\circ} \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \begin{pmatrix} {\frac{2}{9}} & {0} \\ {0} & {\frac{2}{9}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\cos 90 ^\circ} & {- \sin 90 ^\circ} \\ {\sin 90 ^\circ} & {\cos 90 ^\circ} \end{pmatrix}$ 따라서 변환 $f \circ f$는 각 $90 ^\circ$만큼 회전변환과 닮음비가 $\displaystyle \frac{2}{9}$인 닮음변환의 합성변환이다. 도형의 길이 또는 넓이는 회전변환에 의하여 변하지 않으므로 $S$는 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이의 $\displaystyle \left( \frac{2}{9} \right) ^{2} = \frac{4}{81}$배이다.

사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는 위 그림에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times ( 2 + 9 ) \times 5 = \frac{45}{2}$이므로 $\displaystyle S = \frac{45}{2} \times \frac{4}{81} = \frac{10}{9}$ ∴ $81 S$$\displaystyle = 81 \times \frac{10}{9} = 90$