합집합 조건 부분집합 개수

[출제의도] 특정한 원소를 갖는 부분집합의 개수를 추론할 수 있는가를 묻는 문항이다. $A \cup C = B \cup C$이려면 벤다이어그램에서 어두운 부분에 속하는 원소가 없어야 한다.

즉, $A - B \subset C , B - A \subset C$이므로 $C$는 $\left\{ 1 , 5 , 6 , 7 \right\}$을 포함하는 $U$의 부분집합이다. 따라서 구하는 집합 $C$의 개수는 $2 ^{10-4} = 2 ^{6} = 64$ [참고] $n ( A ) = k$일 때, (1) $A$의 부분집합의 개수는 $2 ^{k}$이다. (2) $A$의 특정한 원소 $m$개를 갖는 $A$의 부분집합의 개수는 $2 ^{k-m}$이다. (단, $m \leq k$)