공통수학2집합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

합집합 조건 부분집합

문제

전체집합 $U = \mathit{\left\{ 1 , 2 , 3 , \cdots , 10 \right\}}$ 의 두 부분집합 $A = \mathit{\left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \right\}}$ , $B = \mathit{\left\{ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 \right\}}$ 에 대하여 $A \cup C = B \cup C$ 를 만족시키는 $U$ 의 부분집합 $C$ 의 개수를 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 조건을 만족시키는 집합 $C$ 의 개수를 구한다. $A \cup C = B \cup C$ 에서 $A \subset ( B \cup C )$ 이고 $B \subset ( A \cup C )$ $( i )$ $A \subset ( B \cup C )$ 에서 $2 \notin B$ , $4 \notin B$ 이고 $2 \in A$ , $4 \in A$ 이므로 $2 \in C$ , $4 \in C$ $( ii )$ $B \subset ( A \cup C )$ 에서 $7 \notin A$ , $9 \notin A$ 이고 $7 \in B$ , $9 \in B$ 이므로 $7 \in C$ , $9 \in C$ $( i )$ , $( ii )$ 에서 집합 $C$ 는 $2$ , $4$ , $7$ , $9$ 를 반드시 원소로 갖는 $U$ 의 부분집합이다. 따라서 집합 $C$ 의 개수는 $1$ , $3$ , $5$ , $6$ , $8$ , $10$ 을 원소로 갖는 집합의 부분집합의 개수와 같으므로 $2 ^{6} = 64$

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