대수수열의 합AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합이 주어진 수열의 보기 판단

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합 SnS _{n}이 Sn=n2+nS _{n} = n ^{2} + n일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. a1=2a _{1} = 2 ㄴ. an=2n−1a _{n} = 2 n - 1 ㄷ. ∑k=1101akak+1=522\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}} = \frac{5}{22}

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

ㄱ. a1=S1=1+1=2a _{1} = S _{1} = 1 + 1 = 2 (참) ㄴ. n≥2n \geq 2일 때 an=Sn−Sn−1=(n2+n)−{(n−1)2+(n−1)}=2na _{n} = S _{n} - S _{n - 1} = ( n ^{2} + n ) - \left\{ ( n - 1 ) ^{2} + ( n - 1 ) \right\} = 2 n a1=2a _{1} = 2도 이 식을 만족시키므로 an=2na _{n} = 2 n (거짓) ㄷ. 1akak+1=12k(2k+2)=14(1k−1k+1)\displaystyle \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}} = \frac{1}{2 k ( 2 k + 2 )} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)이므로 ∑k=1101akak+1=14(1−111)=14⋅1011=522\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}} = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{11} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{10}{11} = \frac{5}{22} (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이므로 답은 ④이다.

태그

#참·거짓 판정#합과 일반항의 관계#부분분수

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