합이 9가 아닌 세 자리 수

[출제의도] 조건을 만족시키는 자연수의 개수를 추론한다. $1$부터 $9$까지 자연수 중 합이 $9$가 되는 두 수의 쌍은 $( 1 , 8 )$, $( 2 , 7 )$, $( 3 , 6 )$, $( 4 , 5 )$ 조건을 만족시키는 세 자리 자연수에 대하여 $( i )$ $9$가 포함된 경우 백의 자리의 수가 $9$이면 십의 자리의 수는 $1$부터 $8$까지 $8$가지이다. 이때 일의 자리의 수에는 $9$, 십의 자리의 수, $9$에서 십의 자리의 수를 뺀 수를 제외한 $6$가지가 올 수 있다. 십의 자리의 수 또는 일의 자리의 수가 $9$인 경우도 마찬가지이므로 구하는 세 자리 자연수의 개수는 $8 \times 6 \times 3 = 144$ $( ii )$ $9$가 포함되지 않는 경우 백의 자리의 수는 $1$부터 $8$까지 $8$가지 십의 자리의 수에는 백의 자리의 수, $9$에서 백의 자리의 수를 뺀 수를 제외한 $6$가지가 올 수 있다. 마찬가지 방법으로 생각하면 일의 자리에 올 수 있는 수는 $4$가지이다. 따라서 구하는 세 자리 자연수의 개수는 $8 \times 6 \times 4$$= 192$ $( i )$, $( ii )$에서 구하는 세 자리 자연수의 개수는 $144 + 192 = 336$ [다른 풀이] 각 자리의 수 중 어느 두 수의 합이 $9$가 되는 세 자리 자연수의 개수를 구하면 다음과 같다. $1$부터 $9$까지 자연수 중 합이 $9$가 되는 두 수의 쌍은 $( 1 , 8 )$, $( 2 , 7 )$, $( 3 , 6 )$, $( 4 , 5 )$ 의 $4$개이다. 이 $4$개의 쌍 중 하나를 택하고 $9$개의 숫자 중 이미 택한 $2$개의 숫자를 제외한 $7$개의 숫자 중 하나를 택하여 $3$개의 숫자를 얻는다. 이렇게 얻은 $3$개의 숫자를 일렬로 배열하는 경우의 수는 $4 \times 7 \times _{3} \mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{3}}} = 4 \times 7 \times 6$ $= 168$ 한편, $1$부터 $9$까지 자연수 중 세 수를 택하는 순열의 수는 ${} _{9} {\mathrm{P}} _{3} = 9 \times 8 \times 7$ $= 504$ 따라서 구하는 세 자리 자연수의 개수는 $504 - 168$$= 336$