합이 3의 배수 함수

[출제의도] 순열과 조합을 활용하여 문제해결하기 집합 $Y$의 원소들을 $3$으로 나누었을 때의 나머지가 같은 수들을 원소로 하는 집합 $Y$의 부분집합을 각각 $A = \left\{ 1 , 4 \right\}$, $B = \left\{ 2 , 5 \right\}$, $C = \left\{ 3 \right\}$이라 하자. (ⅰ) $f \left( 4 \right) = 3$인 경우 $f \left( 1 \right) + f \left( 2 \right) + f \left( 3 \right) = 3 k$($k$는 자연수)이므로 집합 $A$, $B$, $C$의 원소 중에서 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$, $f \left( 3 \right)$의 값으로 선택할 수 있는 원소의 개수와 각 경우의 함수의 개수는 표와 같다.

$\therefore$ $24 + 8 + 8 + 1 = 41$ (ⅱ) $f \left( 4 \right) = 1$ 또는 $f \left( 4 \right) = 4$인 경우 $f \left( 1 \right) + f \left( 2 \right) + f \left( 3 \right) = 3 k + 1$($k$는 자연수)이므로 집합 $A$, $B$, $C$의 원소 중에서 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$, $f \left( 3 \right)$의 값으로 선택할 수 있는 원소의 개수와 각 경우의 함수의 개수는 표와 같다.

$\therefore$ $2 \times \left( 6 + 24 + 12 \right) = 84$ (ⅲ) $f \left( 4 \right) = 2$ 또는 $f \left( 4 \right) = 5$인 경우 $f \left( 1 \right) + f \left( 2 \right) + f \left( 3 \right) = 3 k + 2$($k$는 자연수)이므로 집합 $A$, $B$, $C$의 원소 중에서 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$, $f \left( 3 \right)$의 값으로 선택할 수 있는 원소의 개수와 각 경우의 함수의 개수는 표와 같다.

$\therefore$ $2 \times \left( 24 + 12 + 6 \right) = 84$ 따라서 구하는 함수의 개수는 $41 + 84 + 84 = 209$ 【 다른 풀이 】 (ⅰ) $f \left( 4 \right) = 3$인 경우 집합 $Y$의 원소 중 중복을 허락하여 선택한 세 수들의 합을 $3$으로 나눈 나머지가 $0$이 되는 수들의 순서쌍은 $\left( 1 , 1 , 1 \right)$, $\left( 2 , 2 , 2 \right)$, $\left( 3 , 3 , 3 \right)$, $\left( 4 , 4 , 4 \right)$, $\left( 5 , 5 , 5 \right)$와 $\left( 1 , 1 , 4 \right)$, $\left( 1 , 4 , 4 \right)$, $\left( 2 , 2 , 5 \right)$, $\left( 2 , 5 , 5 \right)$와 $\left( 1 , 2 , 3 \right)$, $\left( 1 , 3 , 5 \right)$, $\left( 2 , 3 , 4 \right)$, $\left( 3 , 4 , 5 \right)$이고, 각 순서쌍을 이루는 수들을 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$, $f \left( 3 \right)$이 되도록 나열하는 방법의 수는 $\displaystyle 5 \times \frac{3 !}{3 !} + 4 \times \frac{3 !}{2 !} + 4 \times 3 ! = 41$ (ⅱ) $f \left( 4 \right) = 1$ 또는 $f \left( 4 \right) = 4$인 경우 집합 $Y$의 원소 중 중복을 허락하여 선택한 세 수들의 합을 $3$으로 나눈 나머지가 $1$이 되는 수들의 순서쌍은 $\left( 1 , 1 , 2 \right)$, $\left( 1 , 1 , 5 \right)$, $\left( 1 , 3 , 3 \right)$, $\left( 2 , 2 , 3 \right)$, $\left( 2 , 4 , 4 \right)$, $\left( 3 , 3 , 4 \right)$, $\left( 3 , 5 , 5 \right)$, $\left( 4 , 4 , 5 \right)$와 $\left( 1 , 2 , 4 \right)$, $\left( 1 , 4 , 5 \right)$, $\left( 2 , 3 , 5 \right)$이고, 각 순서쌍을 이루는 수들을 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$, $f \left( 3 \right)$이 되도록 나열하는 방법의 수는 $\displaystyle 8 \times \frac{3 !}{2 !} + 3 \times 3 ! = 42$ $\therefore$ $42 \times 2 = 84$ (ⅲ) $f \left( 4 \right) = 2$ 또는 $f \left( 4 \right) = 5$인 경우 집합 $Y$의 원소 중 중복을 허락하여 선택한 세 수들의 합을 $3$으로 나눈 나머지가 $2$가 되는 수들의 순서쌍은 $\left( 1 , 1 , 3 \right)$, $\left( 1 , 2 , 2 \right)$, $\left( 1 , 5 , 5 \right)$, $\left( 2 , 2 , 4 \right)$, $\left( 2 , 3 , 3 \right)$, $\left( 3 , 3 , 5 \right)$, $\left( 3 , 4 , 4 \right)$, $\left( 4 , 5 , 5 \right)$와 $\left( 1 , 2 , 5 \right)$, $\left( 1 , 3 , 4 \right)$, $\left( 2 , 4 , 5 \right)$이고, 각 순서쌍을 이루는 수들을 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$, $f \left( 3 \right)$이 되도록 나열하는 방법의 수는 $\displaystyle 8 \times \frac{3 !}{2 !} + 3 \times 3 ! = 42$ $\therefore$ $42 \times 2 = 84$ 따라서 구하는 함수의 개수는 $41 + 84 + 84 = 209$