대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합과 일반항 관계

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에서 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하자. a1=1a _{1} = 1, 2Sn=anan+12 S _{n} = a _{n} a _{n+1}(n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) 로 정의되는 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. a2=2a _{2} = 2 ㄴ. an+1−an−1=2a _{n+1} - a _{n-1} = 2 (n≥2n \geq 2) ㄷ. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 등차수열이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. a1=S1=1a _{1} = S _{1} = 1 이므로 2S1=a1a22 S _{1} = a _{1} a _{2} 에서 2⋅1=1⋅a22 \cdot 1 = 1 \cdot a _{2} ∴ a2=2a _{2} = 2 ∴ 참 ㄴ. 2Sn=anan+12 S _{n} = a _{n} a _{n+1}, 2Sn−1=an−1an2 S _{n-1} = a _{n-1} a _{n}에서 2(Sn−Sn−1)=an(an+1−an−1)2 ( S _{n} - S _{n-1} ) = a _{n} ( a _{n+1} - a _{n-1} ) ∴ an+1−an−1=2a _{n+1} - a _{n-1} = 2 ∴ 참 ㄷ. ㄴ에서 {a2n−1}\left\{ a _{2n-1} \right\}, {a2n}\left\{ a _{2n} \right\}은 모두 공차가 22인 등차수열이고, a1=1a _{1} = 1, a2=2a _{2} = 2이므로 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 공차가 11인 등차수열이다. ∴ 참

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