대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합과 일반항

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하자. 모든 자연수 nn에 대하여 Sn=n2n+1\displaystyle S _{n} = \frac{n}{2 n + 1}일 때, ∑k=161ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{6} \frac{1}{a _{k}}의 값을 구하시오. [4점]

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358

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해설

[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기 a1=S1=13\displaystyle a _{1} = S _{1} = \frac{1}{3} n≥2n \geq 2일 때 ana _{n}=Sn−Sn−1= S _{n} - S _{n-1}=n2n+1−n−12n−1=14n2−1\displaystyle = \frac{n}{2 n + 1} - \frac{n - 1}{2 n - 1} = \frac{1}{4 n ^{2} - 1} 그러므로 모든 자연수 nn에 대하여 an=14n2−1\displaystyle a _{n} = \frac{1}{4 n ^{2} - 1} 따라서 ∑k=161ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{6} \frac{1}{a _{k}}=∑k=16(4k2−1)\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{6} \left( 4 k ^{2} - 1 \right)=4∑k=16k2−∑k=161\displaystyle = 4 \sum\limits _{k = 1} ^{6} k ^{2} - \sum\limits _{k = 1} ^{6} 1 =4×6×7×136−6=358\displaystyle = 4 \times \frac{6 \times 7 \times 13}{6} - 6 = 358

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