대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합과 일반항

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 ∑k=1n1(2k−1)ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{\left( 2 k - 1 \right) a _{k}}=n2+2n= n ^{2} + 2 n 을 만족시킬 때, ∑n=110an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}의 값은? [4점] ①1021\displaystyle \frac{10}{21}②47\displaystyle \frac{4}{7}③23\displaystyle \frac{2}{3}④1621\displaystyle \frac{16}{21}⑤67\displaystyle \frac{6}{7}

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①

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해설

[출제의도] 주어진 조건을 이용하여 분수꼴로 나타낸 수열의 합을 구할 수 있는가 ∑k=1n1(2k−1)ak=n2+2n\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{( 2 k - 1 ) a _{k}} = n ^{2} + 2 n에서 n=1n = 1일 때 1a1=3\displaystyle \frac{1}{a _{1}} = 3이므로 a1=13\displaystyle a _{1} = \frac{1}{3} n≥2n {\geq} 2일 때 1(2n−1)an\displaystyle \frac{1}{\left( 2 n - 1 \right) a _{n}}=∑k=1n1(2k−1)ak−∑k=1n−11(2k−1)ak\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{\left( 2 k - 1 \right) a _{k}} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{1}{\left( 2 k - 1 \right) a _{k}} =n2+2n−{(n−1)2+2(n−1)}= n ^{2} + 2 n - \left\{ \left( n - 1 \right) ^{2} + 2 \left( n - 1 \right) \right\}=2n+1= 2 n + 1 이므로 (2n−1)an=12n+1\displaystyle \left( 2 n - 1 \right) a _{n} = \frac{1}{2 n + 1}에서 an=1(2n−1)(2n+1)\displaystyle a _{n} = \frac{1}{\left( 2 n - 1 \right) \left( 2 n + 1 \right)} 이때 n=1n = 1일 때 a1=13\displaystyle a _{1} = \frac{1}{3}이므로 an=1(2n−1)(2n+1)\displaystyle a _{n} = \frac{1}{\left( 2 n - 1 \right) \left( 2 n + 1 \right)} (n≥1)\left( n {\geq} 1 \right) 따라서 ∑n=110an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}=∑n=1101(2n−1)(2n+1)\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{1}{\left( 2 n - 1 \right) \left( 2 n + 1 \right)} =12∑n=110(12n−1−12n+1)\displaystyle = \frac{1}{2} \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1} \right) =12{(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(119−121)}\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{19} - \frac{1}{21} \right) \right\} =12(1−121)\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{21} \right)=12×2021\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{20}{21}=1021\displaystyle = \frac{10}{21}

태그

#합과 일반항#부분분수

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