합으로 주어진 수열의 극한

[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 수열의 극한값을 구한다. 등차수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 공차를 $d$라 하면 $b _{n}$$= b _{1} + \left( n - 1 \right) d$ $\displaystyle \frac{a _{1}}{b _{1}} = 3$에서 $\displaystyle \frac{3}{b _{1}} = 3$, $b _{1} = 1$ $\displaystyle \frac{a _{1}}{b _{1}} + \frac{a _{2}}{b _{2}} = 2$에서 $\displaystyle \frac{a _{2}}{b _{2}} = \mathit{-} 1$ $\displaystyle - \frac{4}{1 + d} = \mathit{-} 1$에서 $d = 3$ $b _{n}$$= 1 + \left( n - 1 \right) \times 3$$= 3 n - 2$ $n {\geq} 2$일 때 $\displaystyle \frac{a _{n}}{b _{n}}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{b _{k}} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{a _{k}}{b _{k}}$$\displaystyle = \frac{6}{n + 1} - \frac{6}{n}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{6}{n \left( n + 1 \right)}$ 이므로 $\displaystyle a _{n} = \mathit{-} \frac{6 ( 3 n - 2 )}{n ^{2} + n}$ ($n {\geq} 2$) $\displaystyle a _{n} b _{n} = {\mathit{-} \frac{6 \left( 3 n - 2 \right) ^{2}}{n ^{2} + n}}$ ($n {\geq} 2$) 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ - \frac{6 \left( 3 n - 2 \right) ^{2}}{n ^{2} + n} \right\}}$$= \mathit{-} 54$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} b _{n}}$$= \mathit{-} 54$