대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합으로 주어진 수열

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S _{n}$ 이라 할 때, $S _{n} = 2 + ( - 1 ) ^{n} ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$ 이다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} ( a _{2 k} - a _{2 k + 1} )$ 의 값을 구하시오. [4점]

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[출제의도] 발견적 추론능력(추측)-수열 $S _{1} = 2 + ( - 1 ) ^{1} = 1 = a _{1}$ $S _{2} = a _{1} + a _{2} = 2 + ( - 1 ) ^{2} = 3$ 에서 $a _{2} = 2$ $S _{3} = S _{2} + a _{3} = 2 + ( - 1 ) ^{3} = 1$ 에서 $a _{3} = - 2$ $S _{4} = S _{3} + a _{4} = 2 + ( - 1 ) ^{4} = 3$ 에서 $a _{4} = 2$ $S _{5} = S _{4} + a _{5} = 2 + ( - 1 ) ^{5} = 1$ 에서 $a _{5} = - 2$ $\vdots$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( a _{2 k} - a _{2 k + 1} \right) = 10 \left\{ 2 - ( - 2 ) \right\} = 10 \times 4 = 40$

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