합으로 주어진 로그 수열

[출제의도] 로그의 성질을 이해하여 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \log _{2} ( n ^{2} + n )$이므로 $a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} a _{k}$ $= \log _{2} ( n ^{2} + n ) - \log _{2} ( n ^{2} - n )$ $\displaystyle = \log _{2} \frac{n + 1}{n - 1}$ (단, $n \geq 2$) $a _{2 n + 1}$$\displaystyle = \log _{2} \frac{n + 1}{n}$ (단, $n \geq 1$) $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{15} a _{2 n + 1}$$\displaystyle = \log _{2} 2 + \log _{2} \frac{3}{2} + \log _{2} \frac{4}{3} + \cdots + \log _{2} \frac{16}{15}$ $\displaystyle = \log _{2} \left( 2 \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \cdots \times \frac{16}{15} \right) = 4$