미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합으로 정의된 수열의 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 ∑k=1nak−k2k+1=2n2−n\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k} - k ^{2}}{k + 1} = 2 n ^{2} - n 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞ann2+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{n ^{2} + 1}의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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해설

모든 자연수 nn에 대하여 Sn=∑k=1nak−k2k+1=2n2−n\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k} - k ^{2}}{k + 1} = 2 n ^{2} - n이라 하자. n≥2n \geq 2일 때, an−n2n+1\displaystyle \frac{a _{n} - n ^{2}}{n + 1}=Sn−Sn−1= S _{n} - S _{n - 1} =(2n2−n)−{2(n−1)2−(n−1)}= \left( 2 n ^{2} - n \right) - \left\{ 2 \left( n - 1 \right) ^{2} - \left( n - 1 \right) \right\} =4n−3= 4 n - 3 an=(4n−3)(n+1)+n2=5n2+n−3(n≥2)a _{n} = \left( 4 n - 3 \right) \left( n + 1 \right) + n ^{2} = 5 n ^{2} + n - 3 \left( n \geq 2 \right)에서 lim⁡n→∞ann2+1=lim⁡n→∞5n2+n−3n2+1=5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{n ^{2} + 1} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{5 n ^{2} + n - 3}{n ^{2} + 1} = 5

태그

#수열의 합과 일반항#극한

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